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By Walter Gubler

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8 folgt J = R wie gew¨ unscht. 13. Jedes Maximalideal ist ein Primideal. Beweis: Sei I ein Maximalideal. 12 wissen wir, dass R/I somit auch ein K¨orper ist. Jeder K¨ orper ist aber nullteilerfrei, und damit insbesondere ein Integrit¨ atsbereich. 12 muss I damit ein Primideal sein. 2. 14. Sind I und J Ideale in R, so auch i) I + J := {a + b | a ∈ I, b ∈ J} und ii) I ∩ J Beweis: Der Beweis ist im Grunde genommen recht einfach. Er ergibt sich durch simples Nachrechnen der Idealeigenschaften und verbleibt ¨ dementsprechend zur Ubung.

Wir f¨ uhren den Nachweis in zwei Schritten durch: 44 KAPITEL 2. GRUPPENTHEORIE ⊆“) Sei x ∈ ker(ϕ). Dann ist gxg −1 ein typisches Element der linken ” Seite. Haben wir gxg −1 ∈ ker(ϕ) gezeigt, so sind wir fertig. Es gilt nun: ϕ(gxg −1 ) = ϕ(g)ϕ(x)ϕ(g)−1 = ϕ(g)e2 ϕ(g)−1 = e2 Die erste Gleichheit folgt aus den Homomorphieeigenschaften, die zweite ergibt sich, da x ∈ ker(ϕ) ist. Die letzte ist trivial und dies zeigt die Inklusion. ⊇“) Folgt vollst¨andig analog. 5) folgt. 7. Allgemein sei hier noch einmal festgehalten, dass falls wir nachweisen wollen, dass eine Menge N ein Normalteiler einer Gruppe G ist, dann gen¨ ugt es zu zeigen, dass N eine Untergruppe von G ist und gN g −1 ⊆ N f¨ ur alle g ∈ G erf¨ ullt ist.

Analog zeigt man yx ∼ yx . 2) wohldefiniert. Da man repr¨asentantenweise vorgeht, vererben sich die Gruppenaxiome von G auf G/N . 4. G/N heißt Faktorgruppe . 5. Es gibt eine kanonische Projektion mit π : G → G/N, x → x ¯ := π(x) := xN = [x] Da wir in G/N repr¨ asentantenweise rechnen, folgt unmittelbar, dass π ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist. Weiterhin ist ker(π) = N . Dies muß allerdings noch separat bewiesen werden. Beweis: g ∈ ker(π) ⇔ gN = g¯ = e¯ = eN = N . Damit ist g = g · e ∈ N .

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