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By Marc A. Nieper-Wißkirchen

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Seien µi : Mi → M := lim Mi und ιi : Mi ⊗ N → P := lim(Mi ⊗ N ) die Strukturhomo−→ −→ i∈I i∈I morphismen für i ∈ I. Nach der universellen Eigenschaft des gerichteten Limes induzieren die µi ⊗ idN : Mi ⊗ N → M ⊗ N eine eindeutige A-lineare Abbildung ψ : P → M ⊗ N mit µi ⊗ idN = ψ ◦ ιi für alle i. 14. Die A-lineare Abbildung ψ ist ein Isomorphismus lim(Mi ⊗ N ) → −→ i∈I (lim Mi ) ⊗ N . 5 Gerichtete Limiten von Ringen Sei I eine gerichtete Menge. Sei (Ai )i∈I eine Familie von Ringen über I. Für i ≤ j sei αji : Ai → Aj ein Ringhomomorphismus.

1. Ein freier A-Modul M ist ein zu einem A-Modul der Form isomorpher A-Modul, wobei Mi ∼ = A als A-Modul. Mi i∈I Häufig wird für M auch die Notation A(I) verwendet. 2. Ein endlich erzeugter freier Modul ist damit ein freier Modul isomorph zu An = A ⊕ · · · ⊕ A. 3. Sei A ein Ring. Sei M ein A-Modul. Dann ist M genau dann ein endlich erzeugter A-Modul, wenn M ein Quotient eines A-Moduls der Form An für ein n ∈ N0 ist. Beweis. 1. Sei M endlich erzeugt, etwa mit Erzeugern x1 , . . , xn . Dann ist φ : An → M, (a1 , .

Beweis. 1. Erzeugen x1 , . . , xn den A-Modul M . Da φ(xi ) ∈ aM , existieren aij ∈ a mit φ(xj ) = aij xi , also (δij φ − aij )xi = 0 für alle j. i i 2. Multiplizieren wir die linke Seite mit der Adjunkten der Matrix (δij φ − aij ) erhalten wir, daß det(δij φ−aij ) alle Erzeuger xi auslöscht und damit der Nullmorphismus ist. Ausmultiplizieren der Determinanten liefert eine Gleichung der gesuchten Form. Sei A ein kommutativer Ring. Sei M ein endlich erzeugter A-Modul. 5. Sei a ein Ideal von A mit aM = M .

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