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By Gisbert Wüstholz

Dieses Buch ist eine moderne Einführung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann für eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die für eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Auflösung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einführung in Algebren und Moduln. Der textual content wurde für die 2. Auflage vollständig durchgesehen und an vielen Stellen verbessert.

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Sind diese noch dazu abelsch, so müssen sie zyklisch sein und Primzahlordnung besitzen. 1 1. Zeige, dass endliche p-Gruppen auflösbar sind. 2. Zeige, dass Sn An A2 für alle n ≥ 2. ) 3. Zeige, dass in einer exakten Sequenz 1 → G → G → G → 1 die Gruppe G genau dann auflösbar ist, wenn sowohl G als auch G auflösbar sind. 4. Zeige, dass Untergruppen auflösbarer Gruppen auflösbar sind. 5. Es sei H ein Normalteiler einer Gruppe G. Zeige, dass G auflösbar ist, falls H und G/H es sind. 2 6. Zeige, dass die Ordnungsrelation bei Normalreihen transitiv ist.

Diese habe die Gestalt G : G ⊃ . . ⊃ G1 ⊃ . . ⊃ {1} . Die Reststücke R : G1 ⊃ . . ⊃ {1} , R : G1 ⊃ . . ⊃ Gs = {1} von G , G besitzen nach Induktionsvoraussetzung für s−1 isomorphe Verfeinerungen, die sich durch das Anfangsstück von G zu isomorphen Verfeinerungen von G und G ergänzen lassen. Daher existiert ein F mit F ≥ G sowie F ≥ G ≥ G. Dies war zu beweisen. ✷ Soweit haben wir uns nicht mit der Frage beschäftigt, ob eine Gruppe G überhaupt eine Kompositionsreihe besitzt. Im Allgemeinen ist dies nicht der Fall.

Auch in der Theorie der Lie-Gruppen und der algebraischen Gruppen eine wesentliche Rolle. Eine endliche Folge von Untergruppen G: G = G0 ⊃ G1 ⊃ . . ⊃ Gm = {1} heißt Normalreihe, wenn Gi+1 ein Normalteiler in Gi ist. Die Quotientengruppen Gi /Gi+1 heißen Faktoren der Normalreihe. Jede Gruppe besitzt eine triviale Normalreihe G = G0 ⊃ G1 = {1}. Diese ist allerdings sehr grob, sodass uns u. a. die Frage nach Verfeinerungen dieser oder überhaupt von Normalreihen beschäftigen wird. Gruppen, die lediglich die triviale Normalreihe besitzen, nehmen in der Klassifikation von Gruppen eine besondere Stellung ein.

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